常微分方程 考试大纲
(科目代码：578 )
第一章 初等积分法
考试要点
准确理解微分方程的一些最基本的概念;按如下两条主线掌握一阶方程的初等积分法：变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程，全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的方程;掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法。
考试内容
第一节 微分方程与解
基本概念：微分方程、阶、解与积分(通解与通积分，特解与积分)、定解问题，通过单摆方程和人口模型等介绍微分方程的背景和建立微分方程求解应用问题的基本方法。
第二节 变量可分离方程
第三节 变量分离法
第四节 齐次方程
齐次方程和一些齐次方程的变形的解法。
第五节 一阶线性方程
一阶线性方程的解法—常数变易法与Bernoulli方程的解法;通过解的一般表达式讨论解的性质。
第六节 全微分方程及积分因子
全微分方程的解法和积分因子法、分项组合法
第七节 线素场 欧拉折线
一阶微分方程的几何解释和欧拉折线法。
第八节 一阶隐式微分方程
一阶隐式微分方程的微分消参法，特别是Clairaut方程的解法、奇解与包络。
第九节 一阶微分方程应用举例
简介
第十节 几种可降阶的高阶方程
几种可降阶的高阶微分方程的解法
考核要求
掌握微分方程的基本概念--微分方程、阶、解与积分(通解与通积分，特解与积分)等;掌握变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程、全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的一阶微分方程的解法;掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法;能够通过解的一般表达式讨论解的性质，理解和应用奇解概念;通过建立微分方程求解一些应用问题。
第二章 基本定理
考试要点
解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明。
考试内容
第一节 解的存在性与唯一性定理
解的存在唯一性定理;依据具体例子对定理的条件做详细说明。
第二节 解的延展
解的延展定理，示例说明该定理的条件;介绍第一比较定理。
第三节 解对初值的连续依赖性
理解并证明解对初值的连续依赖性定理。
第四节 解对初值的可微性
理解并证明解对初值的可微性定理。
考核要求
重点掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的内容以及解的存在唯一性定理的证明思想;熟练掌握Picard逼近列、Lipschits条件和延拓概念。
