数学综合考试(近世代数、泛函分析、常微分方程、解析几何)科目大纲
(科目代码：945)
一、考核要求
近世代数、泛函分析、常微分方程、解析几何是数学与应用数学专业的核心课程，是数学专业研究生进行硕士阶段知识学习的重要基础，也为高观点下深入理解中学数学教学内容所必需。本门考试包含四门课程：近世代数、泛函分析、常微分方程、解析几何，总分为100分，其 中近世代数和泛函分析分别占20分到25分，解析几何及常微分方程分别占25到30分。
二、考核评价目标
数学综合考试主要考察考生对数学与应用数学专业核心课程的基本理论和基本方法的掌握情况，以及分析解决实际问题的的能力。
三、考核内容
《近世代数》
第一章 基本概念
考试要点：
掌握一些基本概念：代数运算、结合律、交换律、分配律、同态与同构、等价关系与集合分类的定义;理解结合律、交换律、分配律的作用以及同态满射保持结合律、交换律、分配律这些数学事实;熟练应用等价关系与集合分类可以相互决定这一结论。
考试内容：
第一节 代数运算与算律
主要讲授代数运算的定义及例子，结合律及其性质，交换律及其性质，分配律及其性质等。
第二节 同态与同构
主要介绍两个带有代数运算的集合之间的保持代数运算的映射、满射及双射以及它们各自的性质。
第三节 等价关系与集合分类
主要介绍等价关系与集合分类这两个概念以及等价关系与集合分类这二者之间的关系。
考核要求：
要让学生识记代数运算、结合律、交换律、分配律、同态与同构、等价关系与集合分类的定义;领会结合律、交换律、分配律的作用;领会同态满射保持结合律、交换律、分配律，等价关系与集合分类可以相互决定这些数学事实。
第二章 群论
考试要点：
掌握有关群的一些基本概念：群、变换群、置换群、循环群、子群、陪集、不变子群、商群;判断群、子群、不变子群、商群的方法;理解群论的一些重要结论：Cayley 定理、Lagrange定理、群的同态基本定理。
考试内容：
第一节 群的定义与基本性质
介绍群的两种定义的等价性。对有限群给出第三种定义。介绍群的消去律、以及群中的元的阶的性质。介绍群的同态。
第二节 变换群
介绍变换的概念;给出变换群的定义;介绍一个集合的最大变换群、最小变换群;介绍Cayley定理。
第三节 置换群
介绍n次对称群Sn的概念;介绍Sn中的每个置换都可以表成互相没有共同数字的循环置换的乘积这一重要结论。
第四节 循环群
介绍循环群及其生成元的概念;介绍与循环群的存在问题、数量问题、结构问题有关的结论。
第五节 子群
介绍子群的定义以及判断方法、群的子集生成的子群的特点。
第六节 子群的陪集
定义左同余关系以及右同余关系;确定这两个同余关系的等价类，得出一个群G的子群H在G中的左、右陪集的数目相等这一重要结论。介绍Lagrange定理。
